Límites

6FM

Límites 

Definición: 

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal  (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia,continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

*Método de aproximación de limite


Lim  X2
  
         X ----  2

- Debemos poner en la gráfica números de x`s aproximados al 2 porque X vale 2
y los valores de X2  son de mayor a menor de 2 .

x                        X2

1.9                            3.6100
1.99                          3.9601
1.999                     3.9960
1.9999                    3.9996
1.99999                  4.0000
.                                    .
.                                    .       
.                                    .
2                                   4


X                                  X2

2.1                                4.4100
2.01                              4.0401
2.001                            4.0040
2.0001                          4.0004
2.00001                        4.0000
.                                         .
.                                         .
.                                         .
2                                        4




Encuentra el límite de las siguientes funciones aplicando el método de aproximación.

lim X2-2/X3
X ---- 2

X            Y
1             .5
1.9           -1.46
1.99          -1.940
1.999        -1.994
1.9999       -1.999


X
2.5            -8.5
2.2             -5.58
2.1             -2.67
2.001         -2.02
2.0001       -2.002


lim = -2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
lim x 2  3X-2/x2
X ---- 1

X        Y
3.5     2.5
3.7     2.7
3.8     2.8
3.99    2.99

X        Y
4.5      3.5
4.2      3.2
4.1      3.1
4.01    3.01

lim = -3

“Limites por sustitución directa”

Pasos:
1.-Sustituir la o las variables “x” por el valor al cual tiende el limite a calcular.

2.- Realizamos las operaciones algebraicamente que resulten.

Lim    x²+3x
x→3  

Paso 1.- = (3)² + 3(3)

Paso 2.- =9 + 9

Lim=18

Lim   2x² -3x + 4
x→5

Paso1.- =2 (5)² - 3(5) + 4

Paso2.- =50 – 15 + 4

Lim=39

Lim
x→4

Paso1.- = 3(4)² + 2(4) – 4
                      (4)² + 6

Paso 2.- =48 + 8 – 4      =  52    =  2.36
                   16 + 6              22

Lim= 2.36

Encuentra el límite por factorización

1.- Lim                                X2 - 16
X         4                       x2-6x+ 8

RESPUESTA
x-4   =    4+4  =   8   =    4
x-2         4-2       

2.-  Lim

X              3                             x-3

                                                X2-9

RESPUESTA

1                            =       1

3+3                                     6

3.- Lim

X               -1                                 x2-1

                                                           X+1

RESPUESTA

-1-1=    -2

  4.-  Lim                                          x2-25
           X             2                                     x+5

                RESPUESTA
                 -5-5           =           -10

5.- Lim                                     x+3
           X          -5                            x2-x-12

                RESPUESTA
                  -5-4          =             -9

Pasos a seguir:

I-                    En la función se sustituye el valor del límite de X por la cantidad y se realiza la función con el valor.

II-                  Al salir en el resultado 0/0 indica que es un límite indeterminado y se necesita factorizar

III-                Aplicar la factorización para encontrar el limite

IV-               Para factorizar el numerador se aplica la formula siguiente:

a2-b2= (a+b) (a-b)
esta fórmula quiere decir que:
a2-b2- La diferencia del cuadrado

= -  es igual

(a+b)(a-b) – a la multiplicación de a+b por a-b

Donde el valor de x es a y el valor de b es la cantidad.

V-                 Si el numerador  es x2 se saca su raíz

VI-               Se multiplican signos

VII-             Para factorizar el denominador se buscan números que multiplicados den la segunda o tercera cantidad dependiendo de cuantos valores hay y sumados o restados me den la segunda cantidad.

VIII-           Ahora se regresa a la formula principal donde se sustituye el numerador por su factorización y el denominador por su factorización también.

IX-                Se cancelan las cantidades en el numerador y el denominador si son iguales.

X-                  Nos queda la función del Lim X           y su cantidad y otro limite.

XI-                Por último se realiza la última operación que se te pide y ahora no se obtendrá 0/0